Третье краевое условие в задачах граничного управления для уравнения колебаний тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Никитин, Алексей Антонович

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Никитин, Алексей Антонович

1 Смешанная задача с третьим и первым краевыми условиями

1.1 Постановка смешанной задачи.

1.2 Решение задачи возбуждения.

Рекомендованный список диссертаций по специальности «Дифференциальные уравнения», 01.01.02 шифр ВАК

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Третье краевое условие в задачах граничного управления для уравнения колебаний»

Главным предметом изучения в настоящей диссертационной работе является задача граничного управления для волнового уравнения с одной пространственной переменной ии(х,£)-ихх(х,г) = 0. (1)

Уравнение (1) представляет интерес, так как оно является математической моделью большого числа волновых процессов, встречающихся в самых разных физических явлениях: механические колебания в упругих струнах и кристаллах кварца, колебания в радиотехнических устройствах, перемещение сечений каната в судовых спускоподъемных операциях и др. В приложениях возникают задачи, когда желательно генерировать колебания заданных частот, или же наоборот, переводить изучаемую систему в состояние полного покоя. В связи с этим большую актуальность приобретают задачи о граничном управлении процессом колебаний, которые описываются волновым уравнением.

Исследованию решений задач граничного управления и их оптимизации посвящены работы многих математиков (см.например, [1] - [34]). Основной целью является изучение условий, при которых процесс колебаний струны под воздействием некоторого граничного управления может быть переведен из одного состояния, характеризуемого начальным ¡смещением и» начальной скоростью точек струны, в наперед заданное финальное состояние. В математическом плане такие задачи граничного управления формулируются в терминах краевых задач для волнового уравнения (1) и более общих гиперболических уравнений.

Во многих работах доказывается существование определенного промежутка времени, который, следуя общепринятой теримнологии, мы будем называть критическим (Ткрит)- Было показано (см., например, [18],[19],[21]), что если промежуток времени, за который производится управление, не превосходит Ткрит, то задача граничного управления не имеет решения для произвольных начальных и финальных условий. При промежутках времени строго больших Ткрит. существует бесконечно много решений задачи граничного управления при любых начальных и финальных функциях. Для уравнения (1) было установлено, что Ткрит = в случае граничного управления на одном конце струны и Ткрит = I в случае управления на двух концах.

Одним из первых задачу об управлении колебаниями в форме смешанных задач для волнового уравнения рассмотрел в цикле своих работ Ж.Л. Лионе ([1], [2]). В работе [ 1 ] данная задача изучалась в цилиндре Г2 х (0,Т) с начальными условиями и(х, 0) = <р(х), 0) = чр(х), в Г2 (2) и граничными условиями u(x,t) = n(t), в Г х (О,Т). (3)

В дальнейшем HUM-метод Лионса был обобщен его учениками и последователями (см., например, [3] - [6]) на случай квазилинейного волнового уравнения, однородного транспортного уравнения, неавтономных гиперболических систем и др.

В статье Ф.П. Васильева [7] была'предложена трактовка основ теории двойственности в линейных задачах управления и наблюдения. Его совместные с учениками работы ([8], [9]) посвящены конструктивному решению задач о граничном управлении процессом колебаний. В этих статьях были построены эффективные численные алгоритмы нахождения искомого граничного управления. Работа [8] основана на использовании конечномерной аппроксимации задачи граничного управления, а работа [9] использует метод Фурье.

А.З. Ишмухаметовым в работе [10] была изучена задача приведения однородного стержня в состояние как можно более близкое к заданному за промежуток времени Т. Рассматриваются условия, когда левый конец стержня закреплен, правый свободен, а управление производится внешней поперечной нагрузкой и начальным состоянием.

Отметим также, что близкими вопросами теории граничного управления с использованием формулы Даламбера и разложения в тригонометрический ряд Фурье еще ранее занимались А.Г.Бутковский, А.И.Егоров и Л.Д. Акуленко (см.,например, работы [ 11 ] - [ 14]).

Большой цикл работ, выполненный В.А. Ильиным и продолженный его учениками, опубликованный в 1999 - 2008 годы, связан с решением задач управления процессом колебаний в терминах обобщенного решения смешанных задач сначала из класса W%(QT), а потом и из класса здесь через QT обозначен прямоугольник [0 < х < /] х [0 < t < Г]. Эти

Под Л(П) понимается диаметр области П классы были впервые введены В.А. Ильиным в работах [15], [18]. Так класс И^фг) определяется как2 множество функций и(х, ¿), непрерывных в прямоугольнике От и имеющих в нём обе обобщенные производные их(х,Ь), щ(х,1), каждая из которых не только принадлежит классу Ь2. Принадлежность решения этому классу позволяет точно сформулировать требования гладкости, накладываемые на начальные, финальные и граничные условия. В работах В.А. Ильина решалась задача управления процессом, описываемым волновым уравнением (1) и различными граничными условиями Дирихле и Неймана, переводящими струну из произвольного начального состояния (2) в произвольное финальное состояние и(х,Т) = <р(х) щ