Примеры решения задач по физике — концентрические проводящие сферы

Среди школьных задач по физике особняком стоят те, которые связаны с концентрическими проводящими сферами. Эти сферы могут быть заряжены, заземлены, могут находиться в поле внешних зарядов и т. д., вариаций много. В школьном курсе физики эти задачи являются одними из самых сложных. Не в последнюю очередь, конечно, непонимание данного материала связано с неспособностью учителей объяснить его грамотно и доступно. Итак, попробуем разобраться, что это за проводящие сферы и с чем их едят.

Тексты заданий я взял из сборника задач по физике для подготовительных отделений вузов.

Задача 1. Сфера радиуса r, которой сообщен заряд q, окружена концентрической тонкостенной проводящей сферической оболочкой радиуса R, заряд которой равен Q. Определите потенциалы сфер φin (внутренней) и φex (внешней).

Решение. Потенциал на поверхности внутренней сферы φex складывается из двух потенциалов: внешней сферы φ1 и собственно внутренней сферы φ2.

Потенциал внешней сферы φ1 в каждой точке ее внутреннего объема одинаков и равен потенциалу на ее поверхности (подробнее о решении задач на тему «Потенциал» читайте в этой статье):

Потенциал внутренней сферы φ2 определяется известным соотношением:

Тогда общий потенциал φin на поверхности внутренней сферы равен:

Потенциал на поверхности внешней сферы также складывается из двух потенциалов: внутренней сферы φ’1 и собственно внешней сферы φ’2.

Потенциал внутренней сферы φ’1 на расстоянии R от ее центра определяется известным соотношением:

Формула, определяющая потенциал внешней сферы φ’2 на ее поверхности, также хорошо известна:

Тогда общий потенциал на поверхности внешней сферы равен:

Задача 2. Металлический шар радиуса R1, заряженный до потенциала φ, окружают тонкой сферической проводящей оболочкой радиуса R2. Определите потенциал шара φ1 после того, как он будет соединен проводником с оболочкой. Первоначальный заряд оболочки равен нулю, центры оболочки и шара совпадают.

Решение. До соединения сфер проводником заряд первой был равен:

После соединения часть заряда с внутренней сферы перетекло на внешнюю. Ток прекратился в тот момент, когда потенциал шара стал равен потенциалу внешней оболочки. Удобнее поэтому искать не потенциал шара, а равный ему потенциал внешней оболочки. В соответствии с результатами, полученными в предыдущей задаче, этот потенциал определяется выражением:

где q1 и q2 — заряды шара и внешней оболочки после соединения их проводником соответственно. По закону сохранения заряда q = q1 + q2. После несложных преобразований получаем:

Задача 3. Металлический шар радиуса R1, заряженный до потенциала φ, окружают концентрической сферической проводящей оболочкой радиуса R2. Чему станет равен потенциал шара φ‘, если заземлить оболочку?

Начнем с рисунка к решению задачи:

После заземления проводящей оболочки весь положительный заряд, образовавшийся на ней вследствие явления электростатической индукции, стекает на землю. На ней остается только отрицательный заряд, поскольку он притягивается к положительному заряду внутренней сферы

Решение. Зная потенциал шара в начальный момент времени и его радиус, можно найти заряд на нем:

Вследствие явления электростатической индукции на внешней оболочке должно произойти разделение заряда. Отрицательный заряд перетечет на внутреннюю поверхность оболочки, положительный — на внешнюю (см. рисунок). Это же явление возникало и в предыдущих задачах, но мы не принимали его во внимание. Почему? В условии задач было указано, что оболочка тонкая, и такое «разбегание» зарядов не приводило к сколько-нибудь существенному изменению конфигурации электростатического поля.

В этой задаче учет данного явления важен, поскольку оболочку заземляют. После заземления положительный заряд с оболочки стечет на землю, останется лишь отрицательный q2, поскольку он притягивается к положительному заряду q1 внутренней сферы. Потенциал заземленной оболочки станет равен потенциалу земли, то есть нулю. В этой связи и в соответствии с результатом, полученным при решении первой задачи, получаем равенство:

Используя выражение для расчета потенциала внутренней сферы подобной системы, полученное в первой задаче, находим окончательно требуемый потенциал шара:

Опыт показывает, что редко кто понимает решение этих задач во всех деталях с первого раза. Обычно приходится долго и настойчиво разъяснять ученикам все те мелочи, без осознания которых решение сводится к пустым преобразованиям буквенных выражений с целью получения приведенного в конце учебника ответа. Понять физическую сущность этих задач и научиться применять полученные знания в будущем не просто. Однако в этом и состоит основная методическая ценность данной темы в школьном курсе физики. Лучшим помощником в ее изучении непременно станет профессиональный репетитор, грамотный наставник, который сможет придумать понятное именно вам объяснение и ответит на все возникшие вопросы. Кстати, если таковые имеются, вы можете задать их ниже в комментариях.