Получение траектории движения точки по ее кривизне Текст научной статьи по специальности «Математика»

Статья посвящена методам получения траекторий движения и уравнениям кривых трехмерного галилеева пространства-времени по полю ускорения . Она использует методы 3-мерной геометрии Галилея пространства-времени. Рассмотрен ряд примеров.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Долгарев Артур Иванович

Текст научной работы на тему «Получение траектории движения точки по ее кривизне»

УДК 514.126 + 531

ПОЛУЧЕНИЕ ТРАЕКТОРИИ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ ПО ЕЕ КРИВИЗНЕ

Аннотация. Статья посвящена методам получения траекторий движения и уравнениям кривых трехмерного галилеева пространства-времени по полю ускорения. Она использует методы 3-мерной геометрии Галилея пространства-времени. Рассмотрен ряд примеров.

Ключевые слова: траектория движения, ускорение, галилеевы методы.

Abstract. The paper is devoted to the methods of obtaining of the mechanical trajectory and equation of curves three dimensional Galilean space-time by acceleration’s field. It was used methods of geometry 3D Galilean space-time. We consider a number of examples.

Keyword: trajectory of motion, acceleration, Galilean methods.

Рассматривается движение материальной точки с двумя степенями свободы. К изучению траекторий точек и закона их движения привлекаются методы 3-мерной геометрии Галилея. Мировая линия движения точки описывается галилеевой векторной функцией; траектория движения есть проекция мировой линии на евклидову плоскость пространства-времени Галилея, пространственная составляющая мировой линии движения является законом кинематического движения материальной точки. 3-мерное пространство-время

Галилея Г3 является прямой суммой

1-мерной оси времени, совпадающей с действительной числовой осью R, и

евклидовой плоскости Е2 .

Пространство-время Галилея размерности 3 изучается в [1], где рассмотрено галилеево скалярное произведение векторов и на аффинном пространстве определено пространство-время Галилея; содержится теория кривых и поверхностей. В работе [2] средствами галилеевой геометрии найдены законы движения материальной точки по заданному полю ускорений движения. К этой задаче примыкает задача написания параметрических уравнений кривой пространства Галилея по функциям их кривизны и кручения. В настоящей работе обоснованы различные методы решения указанной задачи, близкие к методам в [2, 3], где рассматриваются кривые 3-мерных одулярных галилеевых пространств. Получены галилеевы кривые по их кривизне и по кривизне их евклидовой проекции и методом разложения в степенной ряд. Рассмотрены случаи, в которых кривизна и кручение кривой постоянны, рациональны, трансцендентны. В частности получены: цикл, циклоида, парабо-

лы различной степени, окружность, развертка окружности, цепная линия, коническая спираль, астроида, кривая Штейнера и др.; их кривизна и кручение совпадают с заданными функциями. Отмечены случаи, когда кривизна и кручение кривой являются колебаниями, тогда пространственные компоненты кривой также являются колебаниями, но с другими параметрами.

1 Кривая пространства Галилея размерности 3

Для получения уравнений траектории движущейся материальной точки и закона движения по траектории используются методы геометрии Галилея. Приведем из [1] необходимые геометрические сведения.

1.1 Пространство-время Галилея Г3

Векторы 3-мерного действительного линейного пространства записываем в виде

с выделением первой компоненты.

Галилеева норма вектора согласно [1] равна

П x |, если x Ф 0,

IV (x1)2 + (x2)2, если x = 0.

Свойства галилеевой нормы отличаются от свойств евклидовой нормы. Например, для галилеевой нормы не выполняется неравенство треугольника. Первая компонента x вектора X является временной, смысл этой компонен-

12 12 ты - время; компоненты x , x - пространственные. Векторы (0, x ,x ) имеют евклидову норму. Если x Ф 0, то векторы (x,x1, x2) называются галилее-

выми; а векторы (0, x , x ) называются евклидовыми, они еще записываются

в виде г = (x , x ). Всякий галилеев вектор перпендикулярен всякому евклидову вектору.

Аффинное пространство, в линейном пространстве которого определена галилеева норма векторов, называется пространством Галилея; 3-мерное

пространство Галилея обозначается Г . Две точки A = (а, a , a ) и

B = (Ь,Ь ,Ь ) пространства Галилея определяют вектор

АВ = (Ь - а,Ь1 - a1,Ь2 - a2),

его норма равна

| Ь - а |, если Ь Ф а,

^(Ь1 - а1)2 + (Ь2 - а2)2, если Ь = а.

Точки пространства Галилея еще называются событиями. События А и В одновременны, если а = Ь . Тогда вектор АВ евклидов. Одновременные

между собой события составляют в пространстве Галилея Г3 евклидову

2 — — — плоскость Е . Репер пространства Галилея есть В = (О, е, г, у), где О - начало отсчета; е - единичный вектор направления времени; г, у - евклидовы

единичные взаимно перпендикулярные векторы. Точка О и евклидовы век— — 2 — — торы г, у образуют евклидову плоскость Е = < О, г, у >. Через всякую точку

Р пространства Г3 проходит и единственная евклидова плоскость

1.2 Кривая пространства Галилея в естественной параметризации

Кривые пространства Г3 изучаются в [1]. Регулярная кривая класса С3

3-мерного пространства Галилея Г3 в естественной параметризации задается галилеевой векторной функцией

у(0 = ^, x(t), у(0), t е I с Я, (1)

или в разложении по базисным векторам репера В = (О, е, г, у) пространства Г3:

Составляющая të является временной, параметр t имеет смысл времени. Составляющая x(t )г + у ^) у обозначается

и является пространственной; Г ^) является вектором евклидовой плоскости

< О, г, у > пространства Галилея Г . Кривая Г^) - это проекция галилеевой

кривой у^) (1) на евклидову плоскость < О, г, у >. Разложение (2) можно записать в виде

Вектор касательной к кривой (1) равен

Это галилеев вектор, его длина равна 1 согласно галилеевой норме векторов (п. 1.1):

Кривизна кривой (1) вычисляется по формуле

формула для вычисления кручения кривой (1) такова [1]:

Если задана кривая (1) пространства Галилея Г3, то определяются функции кривизны и кручения кривой:

к = к(t) > 0, m = m(t). (7)

Эти функции являются натуральными уравнениями кривой (1). Функции кривизны и кручения (7) кривой связаны формулами (5), (6) с пространственными компонентами х = x(t), у = y(t) кривой (1); имеем систему обык-

новенных дифференциальных уравнений:

Если заданы функции (7), то функции х = x(t), у = у(t) являются решениями системы дифференциальных уравнений (8). Частный случай системы дифференциальных уравнений (8) при к = const, m = const решается в [1]; общий случай рассмотрен в [2]. Укажем еще один метод решения системы дифференциальных уравнений (8). Сначала приведем схему решения системы уравнений (8) из [2].

что позволяет понизить порядок дифференциальных уравнений системы (8):

Ее решение есть пара функций и = и (t), v = v(t), затем, решая уравнения (9), находим функции х = x(t), у = у^).

По виду первого уравнения системы (10) обозначаем:

и = к cos(w + с), v = к sin(w + с), (11)

w = w(t) = J m(t )dt + с, с = const. (12)

Функции (11) с условием (12) удовлетворяют второму уравнению системы (10). При этом уравнения (9) принимают вид

X = к cos(w + с), у = к sin(w + с). (13)

После двукратного интегрирования этих уравнений находим компонен-

ты X(t), у(t) функции (1), задающей кривую пространства Галилея Г .

Интегрирование уравнений (13) может быть затруднено видом функции w = w(t) в (12). В этом случае возможно использование альтернативной схемы решения системы дифференциальных уравнений (8). Иногда функция

к (t) представляется в виде суммы двух квадратов:

к2(0= к12(0+ к22(0. (14)

и = к1 (t), v = к2 (t)

удовлетворяют второму уравнению системы (10), то дифференциальные уравнения

позволяют найти функции x(t), у^) - компоненты кривой (1).

Для получения единственной кривой (1) с заданными функциями кривизны и кручения (7) вводим начальные условия для системы дифференциальных уравнений (8)

Рассмотрим различные случаи решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений (8) с заданными функциями (7) к = к(^ > 0, т = т^), содержащимися в правых частях этих уравнений. В зависимости от вида функций (7) выбирается метод решения системы уравнений (8): либо общий метод из [2], либо альтернативный метод. Указан случай, в котором альтернативным методом воспользоваться не удается. В результате решения системы дифференциальных уравнений (8) отыскиваются параметрические уравнения мировой линии и траектории движущейся точки и кинематический закон движения материальной точки по ее траектории. Получается закон движения точки, так как параметром траектории точки является время. Галилеева кривизна траектории движения точки равна величине (модулю) вектора ускорения движения.

Получим координатные задания траектории движения точки во времени по функциям кривизны и кручения мировой линии движения точки. Тем самым имеем закон движения точки.

Траектория 1. к = 0 , т = 0 .

Согласно (13) имеем дифференциальные уравнения

Здесь и всюду ниже Q = const. Найдем решение системы дифференциальных уравнений (8), удовлетворяющее начальным условиям

t = to, Xo = X(to), уо = у(^) , Xo = X(to), уо = у (to) .

2 Параметрические уравнения траекторий

2.1 Кривизна и кручение траектории постоянны

Интегрируя их дважды, получаем общие решения

X = Qt + C3, у = C2t + C4 .

t = 0, X = 0, у = a = const, X = 1, у = -1.

По данным начальным условиям имеем

выполняются равенства k = 0 , m = 0 . Получена прямая пространства Галилея как мировая линия движения точки, ее евклидова проекция - прямая

является траекторией движения точки.

Траектория 2. k Ф 0, m = 0 .

По формуле (12) w = c = const, по (13):

X = k cos c, y = k sin c .

В случае c = 0 имеем

x = 212 + C1t + C3, y = C2t + C4.

В координатной галилеевой плоскости < O, e, i > определяется семейство галилеевых циклов кривизны k Ф 0

В пространстве Галилея Г3 также определяются плоские галилеевы циклы кривизны k Ф 0 и кручения m = 0 :

Y(t)= [t,212 + Cit + C3,C2t + C4^ .

Начальные условия t = 0, x = d, y = h, X = b, y = 0 выделяют цикл кривизны k Ф 0:

Y(t )= ^ t, 212 + bt + d J

Если c Ф 0, то общее решение системы дифференциальных уравнений (8) таково:

, ч ( k cos c 2 ^ ^ k sin c 2 ^ ^ ^

При начальных условиях t = 0, x = d, y = 0, X = b, y = 0 получается цикл ( k cos c 2 1 1 k sin c 2 ^

при начальных условиях t = 0, x = d, y = 0, x = 0, y = 0 имеем мировую линию движущейся точки:

( k cos c 2 , k sin c 2

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион ее евклидова проекция, т.е. траектория движения, есть прямая

с угловым коэффициентом tg с .

Траектория 3. к Ф 0, т Ф 0 .

и уравнения (13) имеют вид

X = к cos(mt + с), у = к sin(mt + с).

Определяется семейство 5-параметрических кривых

Репер пространства Галилея Г можно выбрать так, что Сг- = 0 . Мировые линии движущейся точки

являются винтовыми линиями на круглом цилиндре. Направляющая цилиндра, она же траектория движения точки, есть окружность евклидовой плоскости

радиуса г = —2, образующая параллельно оси времени < О, е > .

При движении материальной точки в евклидовой плоскости по траек-

полученной проектированием (20) на евклидову плоскость, величина т есть угловая скорость движения, с - начальная фаза. Вектор скорости равен

V =(к БІп(ті + с), -к со$,(тґ + с) |,

Вектор ускорения движущейся точки:

а = (к $іп(тґ + с), к со$(тґ + с)),

величина ускорения есть

---это галилеева кривизна траектории движения точки.

Если а = а(V) = (а , а ), то его составляющие есть колебания

1 2 a =к sin(mt + c), a =к cos(mt + c)

во взаимно перпендикулярных направлениях 7 и j с одинаковыми амплитудами к , одинаковыми частотами m и разными начальными фазами, соответственно, с + -2 и с . Сумма колебаний, составляющих ускорение, описывает фазовую кривую - окружность

х2 + y2 =к2, и определяет траекторию (21) с уравнением

Мировая линия движения точки есть линия (20).

t = 0, х =--, y = 0, x = b, y = —

выделяют из семейства (19) линию (20), а при с = 0, m = 1 начальные условия

t = 0, х = 0, y = 0, х = 0, y = 0

выделяют из (19) кривую, которая проектируется на евклидову плоскость

< 0,7, j > в циклоиду

х = к(1 - cos t), y = к(t - sin t).

Траектория движения точки с мировой линией (19) есть указанная циклоида. В работе [4, с. 799] отмечено, что винтовая линия может проектироваться на циклоиду.

Компоненты ускорения движущейся точки являются колебаниями. Закон движения точки определяется как сумма колебаний. Это совместное воздействие колебаний на точку задает движение точки по окружности или по циклоиде.

2.2 Кривизна и кручение траектории являются рациональными функциями

Траектория 4. к = t, m = 0 .

Находим w = J mdt = с , тогда

х = t cos c , y = t sin c,

t t x = —cos c + Cjt + C3, y = —sin c + C2t + C4 . 6 6

При c Ф 0 и начальных условиях t = 0, x = 0, y = b, X = 0, y = 0 по (22) получаем галилееву кривую - мировую линию движения:

Y(t )= t, —cos c—Sin c ,

евклидова проекция которой - траектория движения, есть прямая у = х tg с + Ь . Если с = 0 , то приходим к дифференциальным уравнениям

x =------Ъ Cjt + C3, y = C2t + C4.

Начальные условия V = 0, х = 0, у = 0, Х = 0, у = С21 при С2 Ф 0 выделяют мировую линию движения точки