Олимпиада (окт 2016, математика) 9-10 классы - задачи и ответы

1. Про натуральные числа m и n известно, что каждое из них делится на числа 2 2 •3 3 •5 и 2 3 •3, а каждое из чисел 2 5 •3 7 •5 3 и 2 4 •3 6 •5 2 делится на m и n. Чему равно наибольшее возможное отношение чисел m и n?

Решение: Наибольшее отношение чисел m и n будет, когда одно из чисел - наибольшее из возможных, а другое - наименьшее из возможных. Наибольшее из чисел, на которые делятся числа 2 5 •3 7 •5 3 и 2 4 •3 6 •5 2 , равно 2 4 •3 6 •5 2 . Наименьшее из чисел, которые делятся на числа 2 2 •3 3 •5 и 2 3 •3, равно 2 3 •3 3 •5. Отношение чисел 2 4 •3 6 •5 2 и 2 3 •3 3 •5 равно 2•3 3 •5.

2. В классе 21 ученик. Известно, что ни у каких двух девочек количество друзей-мальчиков из этого класса не совпадает. Какое наибольшее количество девочек может быть в этом классе?

Решение: Количество девочек может равняться 11 (см. таблицу):

Докажем, что количество девочек не может быть больше 11. Действительно, если девочек больше 11, то девочка, имеющая максимальное количество друзей-мальчиков, дружит более чем с 10 мальчиками. А значит, общее количество учеников класса больше 21.

3. Найдите наибольшее возможное количество цифр числа, обладающего следующим свойством: если закрыть все его цифры, кроме двух соседних, то всегда будет получаться квадрат натурального числа.

Решение: Составим такое число, первая цифра которого 1: после 1 может стоять только 6, после 6 - только 4, потом только 9. После 9 никакую цифру поставить нельзя, поскольку не существует двузначного числа, первая цифра которого 9 и которое является квадратом натурального числа. Таким образом, среди чисел, начинающихся на 1 и обладающих свойством: если закрыть все его цифры, кроме двух соседних, всегда будет получаться квадрат натурального числа, максимальное число имеет 4 цифры. Аналогично рассматриваются числа, начинающиеся с 2, начинающиеся с 3 и т.д. Результаты приведены в таблице:

Максимальную длину имеет число 81649.

4. Две стороны четырехугольника равны 1 и 4, а одна из диагоналей имеет длину 2 и делит этот четырехугольник на два равнобедренных треугольника. Чему равен периметр такого четырехугольника?

Решение: Две стороны четырехугольника равны 1 и 4. Эти две стороны могут быть либо смежными, либо противоположными. Рассмотрим первую ситуацию. В четырехугольнике ABCD треугольник АВС - равнобедренный, поэтому сторона ВС может быть равна либо 2, либо 4. Но значение 2 она принимать не может, поскольку не существует треугольника со сторонами 2, 2, 4. Значит, ВС = 4. Аналогично доказывается, что CD = 2. Таким образом, в четырехугольнике ABCD стороны равны 1, 4, 4, 2. Значит, периметр ABCD равен 11. Во второй ситуации аналогично доказывается, что периметр может быть равен только 11.

5. Число 111. 111 (2016 единиц) разделили на 3. Сколько нулей получилось в записи частного?

Решение: 111 = 3•37. 111 111 = 111•1000 + 111 = 111(1001 + 1) = 3•37•1001 = 3•37037. Аналогично вычисляется, что 111 111 111 = 3•37037037, 111 111 111 111 = 3•37037037037 и т.д. Таким образом, если в числе 111 111 111 . 111 содержится 3n единиц, то оно представимо в виде 3•370370370 . 37, где второй множитель содержит n - 1 нулей. 2016 = 3•672, поэтому нулей будет 671.

6. В некоторых клетках таблицы 10×10 поставлены крестики так, что каждый из них - единственный либо в своей строке, либо в своём столбце. Какое наибольшее число крестиков может быть в такой таблице?

Решение: Пример того, как можно поставить 18 крестиков, приведен на рисунке. Докажем, что 18 - это максимальное число. В одной строчке может быть максимально 10 крестиков. Но если мы поставим в одну строчку 10 крестиков, то больше уже ни одного крестика в таблицу поставить будет нельзя. Если же в строчке стоит 9 крестиков, то можно будет добавить еще 9 крестиков, как показано на рисунке. Поэтому 18 - это максимум.

7. Сколько существует простых чисел р, для которых число р 2 + 14 также будет простым числом?

Решение: При р, равном трем, р 2 + 14 = 23 - простое число. Докажем, что других простых р, для которых р 2 + 14 также будет простым числом, не существует. Для этого докажем, что среди чисел р и р 2 + 14 либо первое, либо второе делится на 3. Пусть р не делится на 3. Все такие числа р можно разделить на две группы: 1) р дает остаток 1 при делении на 3 (р = 3n + 1); 2) р дает остаток 2 при делении на 3 (р = 3n + 2), где n - целое число. Если р принадлежит первой группе, то р 2 + 14 = (3n + 1) 2 + 14 = 9n 2 + 6n + 1 + 14. Это число делится на 3. Если р принадлежит второй группе, то р 2 + 14 = (3n + 2) 2 + 14 = 9n 2 + 12n + 4 + 14. Это число также делится на 3. Таким образом, если р делится на 3 и простое, то оно может быть равно только 3. Если р не делится на 3, то р 2 + 14 делится на 3 и при этом больше 3, значит, оно составное. Следовательно, существует единственное простое число р, для которого число р 2 + 14 также будет простым числом, оно равно 3.

8. Если расстояние между соседними (по горизонтали и по вертикали) точками равно 1, то площадь закрашенной фигуры равна.

Решение: Треугольники BMN и BAC подобны. BN = BC/3. Следовательно, MN = AC/3. Значит, MN = 2/3, КМ = 1/3. Аналогично доказывается, что KD = 1/2. Площадь треугольника KDM равна KD•KM/2 = (1/2)•(1/2)•(1/3) = 1/12. Значит, площадь закрашенной фигуры равна = 1 - 1/12 = 11/12.