Этап 5 Тема: Методы отыскания корней алгебраического уравнения. = 0. Стационарные точки. < 0, то. а) Отделить корни алгебраического уравнения

1 р. Этап 5 Тема: Методы отыскания корней алгебраического уравнения Дано: = а) Отделить корни алгебраического уравнения Алгоритм отделения проых корней с помощью исследования функций и пороения графиков. Пороить график функции f ().. Найти ационарные точки функции, решив уравнение f () =. Стационарные точки имеют абсциссы. m.. C помощью графика исследовать отрезки [i, i+ ]. Если f ( i ) f ( i+ ) <, то [a,b] (, ). i i+ 4. Отрезки [ a,b] на интервалах ], ] и m, [ - конкретизировать с помощью графика, исходя из условия f (a) f (b) <. Решение: Пороим график функции. [ Пример выполнения этапа 5, г.

2 р. Найдем ационарные точки функции, определяемой левой чаью исходного уравнения: f () = + 6 = ± 4, = =.4648 = Вычислим значение функции в полученных точках: f ( ) =.8794 f ( ) = Рассмотрим отрезок [, ] = [.4648, ]. Т.к. функция принимает на концах отрезка [, ] разные знаки, а производная сохраняет знак (функция на отрезке убывает), то средний корень может быть отделен на отрезке [.5, 4.7] (.4648, ) Отделим левый корень. В качеве правой границы отрезка может быть выбрана точка b =. <.4648, а в качеве левой границы любая точка из интервала (, ). Возьмем a =. 6. Отделим правый корень. В качеве левой границы отрезка выберем точку a = 4.9 > , а в качеве правой границы любая точка из интервала ( 6, ). Возьмем b = 7.. Окончательно: левый корень уравнения отделен на отрезке [.6;.] средний корень уравнения отделен на отрезке [.5; 4.7] правый корень уравнения отделен на отрезке [4.9; 7.] Пример выполнения этапа 5, г.

3 р. б) Уточнить наименьший (левый) корень уравнения методом Ньютона на отрезке [.6;.], точноь счета. Алгоритм уточнения корня алгебраического уравнения методом Ньютона. На отрезке [ a, b] отделения единвенного корня уравнения задать начальное приближение. Проверить условие сходимои f ( ) f ( ) > для выбранного приближения, если условие не выполнено задать другое начальное приближение. f ( ) k f ( ). Вычислить приближения корня по формуле =, k =. k+ k k k+ k. Повторять процедуру. до тех пор пока < ε, тогда * = k+ Решение: Выберем начальное приближение корня =. 6 Для проверки доаточных условий сходимои метода Ньютона из выбранной начальной точки, пороим график второй производной функции, определяемой левой чаью уравнения: f () = f () = + 6 f () = 6 По графику видно, что в выбранной начальной точке условия сходимои метода Ньютона выполняются: f (.6) f (.6) >. Вычислим первое приближение корня: Метод Ньютона = f ( ) =.6 f ( ) = =.96 =.8957 Вычислим второе приближение корня: = f ( ) =.8957 f ( ) = =.97 =.9878 Пример выполнения этапа 5, г.

4 р.4 Последующие итерации запишем в виде таблицы. итерации f() Вычисления закончены, т.к. доигнута заданная точноь.. Запишем полученное решение *. Ответ: найдено решение уравнения: * =. Пример выполнения этапа 5, г.

5 р.5 в) Уточнить наименьший (левый) корень уравнения методом итераций на отрезке [.6;.], используя преобразование = + α f (), точноь счета. Алгоритм уточнения корня алгебраического уравнения методом итерации. Преобразовать уравнение к равносильному виду = ϕ(). Проверить условие сходимои ϕ ( ) < на отрезке [ a, b]. Для этого пороить график ϕ () на отрезке [ a, b]. Если условие не выполнено найти другое преобразование = ϕ(). Замечание: В качеве эквивалентного преобразования исходного уравнения взять следующее: = + α f (), коэффициент α подобрать таким образом, чтобы выполнялось ( ) < ϕ() ϕ на отрезке a, b] [.. Задать начальное приближение произвольно на a, b] [.. Вычислить приближения корня по формуле = ϕ( ), k =. k+ k k+ k 4. Повторять процедуру. до тех пор пока < ε, тогда * = k+ Решение: Преобразуем исходное уравнение = следующим образом: = + α ( + 6 6) Возьмем α =., следовательно ϕ () =. ( + 6 6) Проверим условие сходимои метода итерации для преобразованного уравнения. Найдем производную функции ϕ () и пороим ее график на отрезке [.6;.]: ϕ () =.( Точки для пороения графика на отрезке [.6;.]: Пример выполнения этапа 5, г. + 6) ϕ ()

6 р.6 По графику видно, что условие сходимои выполнено ) : ( ) < Выберем начальное приближение корня =. 6. Вычислим первое приближение корня: Метод итераций ϕ на [.6;.]. = ϕ( ) =.6.( ) =.98 =.6.98 =.498 Вычислим второе приближение корня: = ϕ( ) =.98.(.98 =.98.7 = ) =.7 Последующие итерации запишем в виде таблицы: итерации ϕ () f() Вычисления закончены, т.к. доигнута заданная точноь.. Запишем полученное решение *. 6. Ответ: найдено решение уравнения: * =. ) Если условие сходимои для ϕ() не выполняется, необходимо подобрать другой коэффициент α. Пример выполнения этапа 5, г.

7 р.7 г) Уточнить наименьший (левый) корень уравнения методом половинного деления на отрезке [.6;.], точноь счета. Алгоритм уточнения корня алгебраического уравнения методом половинного деления. Определить начальный интервал неопределеннои [ a,b] = [a,b] и проверить условие сходимои f (a) f (b) : a + b ) f (ck ), то [ a k +,bk+ ] = [a k,ck ]. ) f (c ), то a,b ] [c,b ] k k. Найти середину выбранного отрезка c =, k. Если f (a k Если f (a k k > [ k + k+ = k k k = 4. Повторять процедуру -4. до тех пор пока b a < ε, тогда Решение: k+ k+ a = b * k+ + k+ Проверим условие сходимои метода половинного деления на отрезке [.6;.]: f (.6) =.464 f (.) =.777 f (.6) f (.) < - значит условие сходимои выполнено. Метод половинного деления (дихотомии) Итерация Вычислим значения функции на концах текущего отрезка [.6;.]: f (a) = f (.6) =.464, f (b) = f (.) =. 777 a + b.6 +. Найдем середину текущего отрезка c = = =. 95 f (c) = f (.95) =. Вычислим значение функции в середине отрезка: 6 Рассмотрим произведение (a) f (c) f, это произведение имеет положительный знак, т.к. f (a) < и f (c) <, значит новый отрезок для отыскания корня будет [ c, b] = [.95;.] =..6 =.7 эта величина превышает заданную точноь., вычисления продолжаются. Итерация Вычислим значения функции на концах текущего отрезка [.95;.] : f (a) = f (.95) =.6, f (b) = f (.) =. 777 a + b c = = =. Найдем середину текущего отрезка 5 Пример выполнения этапа 5, г.

8 р.8 Вычислим значение функции в середине отрезка: f (c) = f (.5) =. 48 Рассмотрим произведение (a) f (c) т.к. f (a) < и (c) [ a, c] = [.95;.5]. f, это произведение имеет неположительный знак, f >, значит новый отрезок для отыскания корня будет =..95 =.5 эта величина превышает заданную точноь., вычисления продолжаются. Последующие итерации запишем в виде таблицы: итерации a b f(a) f(b) a + b c = f( с) Вычисления закончены, т.к. доигнута заданная точноь.. Запишем полученное решение *. 47. Ответ: найдено решение уравнения: * =. Пример выполнения этапа 5, г.