Координатный способ задания движения точки

Выводы приведенных ниже формул и изложение теории приводится на странице “Кинематика материальной точки”. Здесь мы применим основные результаты этой теории к координатному способу задания движения материальной точки.

Пусть мы имеем неподвижную прямоугольную систему координат с центром в неподвижной точке . При этом положение точки M однозначно определяются ее координатами (x, y, z). Координатный способ задания движения точки – это такой способ, при котором заданы зависимости координат от времени. То есть заданы три функции от времени (при трехмерном движении):

Далее мы приводим формулы вычисления кинематических величин и пример решения задачи для координатного способа задания движения.

Определение кинематических величин

Зная зависимости координат от времени , мы автоматически определяем радиус-вектор материальной точки M по формуле: , где – единичные векторы (орты) в направлении осей x, y, z .

Дифференцируя по времени , находим проекции скорости и ускорения на оси координат: ; ; Модули скорости и ускорения: ; .

Единичный вектор в направлении касательной к траектории: . Его можно определить двумя способами – по направлению скорости, или в противоположную сторону. Поэтому здесь в знаменателе стоит не модуль скорости, а алгебраическая величина скорости, которая, по абсолютной величине, равна модулю скорости, но может принимать как положительные, так и отрицательные значения: . Она является проекцией скорости на направление единичного вектора .

Алгебраическая величина тангенциального (касательного) ускорения – это проекция полного ускорения на направление единичного вектора касательной к траектории: . Вектор тангенциального (касательного) ускорения: . Здесь также, как и для скорости, – это скалярная величина, которая может принимать как положительные так и отрицательные значения: .

Нормальное ускорение: . Вектор нормального ускорения: ; . Единичный вектор в направлении главной нормали траектории (то есть единичный вектор, перпендикулярный касательной и направленный к центру кривизны траектории): . Здесь – это модуль нормального ускорения: . Нормальное ускорение всегда направлено к центру кривизны траектории. Оно не может быть направлено в противоположную сторону.

Радиус кривизны траектории: . Центр кривизны траектории: .

Единичный вектор в направлении бинормали: .

Пример решения задачи

По заданным уравнениям движения точки установить вид ее траектории и для момента времени найти положение точки на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории.

Уравнения движения точки: , см; , см.

Исключаем время из уравнений движения. Для этого перепишем их в виде: ; . Применим формулу: . ; ; ; .

Итак, мы получили уравнение траектории: . Это уравнение параболы с вершиной в точке и осью симметрии .

Поскольку , то ; или . Аналогичным образом получаем ограничение для координаты : ; ;

Таким образом, траекторией движения точки является дуга параболы , расположенная при и .

Строим параболу по точкам.

0 6 ± 3 5,625 ± 6 4,5 ± 9 2,625 ± 12 0

Определяем положение точки в момент времени . ; .

Дифференцируя координаты и по времени , находим компоненты скорости. . Чтобы продифференцировать , удобно применить формулу тригонометрии: . Тогда ; .

Вычисляем значения компонент скорости в момент времени : ; . Модуль скорости: .

Дифференцируя компоненты скорости и по времени , находим компоненты ускорения точки. ; .

Вычисляем значения компонент ускорения в момент времени : ; . Модуль ускорения: .

Алгебраическая величина тангенциального ускорения – это проекция полного ускорения на направление единичного вектора касательной к траектории. Выберем направление совпадающим с направлением скорости . Тогда ; алгебраическая величина тангенциального ускорения – это проекция полного ускорения на направление скорости : . Поскольку , то вектор тангенциального ускорения направлен противоположно скорости .

Нормальное ускорение: . Вектор и направлен в сторону центра кривизны траектории.

Радиус кривизны траектории: .

Траекторией движения точки является дуга параболы ; . Скорость точки: . Ускорение точки: ; ; . Радиус кривизны траектории: .

При решении задачи мы нашли: вектор и модуль скорости: ; ; вектор и модуль полного ускорения: ; ; тангенциальное и нормальное ускорения: ; ; радиус кривизны траектории: .

Определим остальные величины.

Единичный вектор в направлении касательной к траектории: . Вектор тангенциального ускорения: . Вектор нормального ускорения: . Единичный вектор в направлении главной нормали: . Координаты центра кривизны траектории: .

Введем третью ось системы координат перпендикулярно осям и . В трехмерной системе ; . Единичный вектор в направлении бинормали: .