Глава 4. Множества и отношения

1. Нашей ближайшей задачей будет теперь изучить строение предложений, без чего невозможно понять, как устроены рассуждения. Но сначала нам придется познакомиться с некоторыми математическими понятиями, принадлежащими, по сути дела, также и к основным понятиям логики.

Множеством в математике называют любую совокупность любых «предметов», конкретная природа и свойства которых могут быть какими угодно. Можно говорить, например, о множестве всех коров в некотором стаде; о множестве всех целых положительных чисел; о множестве всех букв русского алфавита; о множестве рек, впадающих в Волгу; о множестве, состоящем из числа 8, Александра Македонского, луны и слова «множество». «Предметы», из которых состоит множество, называются его элементами; о них говорят, что они принадлежат данному множеству (или входят в него). Если множество и его элементы обозначены какими-либо символами, — например, буквами, — то вместо слова «принадлежит» на письме часто используется значок е; таким образом, а е A означает то же, что «а принадлежит A». Вместо «а принадлежит A» говорят также «A содержит а». Таким образом, предложения «а есть элемент A», «а принадлежит A» и «A содержит а» синонимичны, т. е. означают одно и то же, и то же самое означает символическая запись а е A. Выражения «принадлежит» и «входит в» — точные синонимы.

Понятие множества лежит фактически в основе всей математики; естественно поэтому, что мы его не определяем, а только поясняем его смысл примерами и «приблизительным переводом» на естественный язык. (Вспомним то, что было сказано о первоначальных понятиях

наук в главе 2.) Неопределяемым является и понятие «принадлежит». Но понятия «элемент» и «содержит» определяются: их определения состоят в указании, что предложения «а есть элемент А» и «А содержит а» означают то же, что «а принадлежит А».

Вместо слов «не принадлежит» часто пользуются значком t) = бурные;

Magn( плакать) = горько;

Найти значения функции Magn от слов: уважение, свет, тьма, храбрость, молодость, старость, победа, поражение, здоровье, болезнь, грех, спать, дурак, дождь.

11. До сих пор, говоря об отношениях, мы для простоты ограничивались теми из них, в которых участвуют только два объекта. Однако в естественном языке есть и такие слова, которые выражают отношения между тремя объектами — например, дал (кто — что — кому: Иван дал книгу Петру), научил (кто — кого — чему: Отец научил сына грамоте), рассказал (кто —кому —о чем: Ваня рассказал Мише о своей работе), между четырьмя — купил (кто — у кого — что — почем: Иван купил у Петра корову за сто рублей) и даже между пятью — арендовал (кто — у кого — что — на какой срок — за какую плату: Смит арендовал у Джонса пять акров земли на два года за двести фунтов.

В математике также встречаются отношения между тремя, четырьмя и более объектами. Например, если А, B, C —точки, лежащие на одной прямой, то фраза «C лежит между А и B» выражает определенное отношение между этими тремя точками; фраза «Прямые к и l пере- А

два из которых —прямые, а третий — точка; если а, Ъ, с —числа, то выражение а + Ъ = с представляет собой утверждение о том, что между данными числами имеется определенное отношение: сумма первых двух равна третьему. Отношение пропорциональности а/Ъ = с/d связывает уже четыре объекта.

В дальнейшем, говоря об отношениях, мы будем подразумевать отношения между любым числом объектов. Отношения между двумя объектами называются бинарными или двуместными, между тремя объектами — тернарными или трехместными-, отношения, в которых участвует точно n объектов, n = 2, 3. называются n-местными.

ния R понятно выражение «xi, x2,. . xn связаны отношением R (или

будем называть областью первых — соответственно вторых, третьих

между собой, т. е. равны одному и тому же множеству M, мы говорим, что отношение задано на множестве M.

Графиком n-местного отношения R называется множество всех тех упорядоченных n-ок (xi,x2. xn), для которых xi,x2. xn связаны R

Примеры. 1) Для тернарного отношения «х и y — соответственно отец и мать z-а» область первых элементов есть множество мужчин, область вторых элементов — множество женщин, область третьих — множество людей. Примером упорядоченной тройки, принадлежащей графику этого отношения, может служить тройка (Сергей Львович Пушкин, Надежда Осиповна Пушкина, Александр Сергеевич Пушкин).

2) Графику заданного на множестве действительных чисел тернарного отношения х + y = z принадлежат, например, упорядоченные тройки (3, 2, 5), (2, 2, 4), (-7,10, 3) и не принадлежат тройки (2, 3, 4), (2, 3, 6), (2, 2, 9) и т.п.

Теперь мы можем обобщить также и понятие функционального отношения (функции).

(n +1)-местное отношение (n = 2, 3. ) называется функциональным, если ни для какой упорядоченной n-ки (xi, х2. xn) не может существовать более одного y, такого, что xi,x2. xn, y связаны данным отношением.

нице, и при n = 1 вместо упорядоченной n-и брать просто х1, то введенное выше понятие функционального бинарного отношения окажется частным случаем введенного только что общего понятия функционального бинарного отношения.

(n + 1)-местное функциональное отношение обычно называют функ- n

же самое, что «просто» функции, рассматривавшиеся выше.

Областью определения функции n переменных F называется множество тех упорядоченных n-ок (x1,x2. xn), для которых существуют y, такие, что х1,х2. xn, y связаны отношением F. Множеством

которых существуют упорядоченные n-ки (x1,x2. xn), такие, что xi,x2. xn,y связаны отношением F.

Примеры. 1) Рассмотренное выше тернарное отношение х + y = z, заданное на множестве действительных чисел, является функциональным отношением, т. е. функцией двух переменных, поскольку для каждой пары чисел х, y существует только одно число z, такое, что х + y = z. Областью определения этой функции служит множество упорядоченных пар действительных чисел, а множеством значений —

само множество действительных чисел. Если обозначить эту функцию

F(x, у) = x + у. Например, F(3, 2) = 5, F(2, 2) = 4.

Объем прямоугольного параллелепипеда есть функция трех переменных, называемых обычно его «измерениями» («длины», «ширины» и «высоты»). Эта функция выражается формулой V(x, у, z) = x'^gz, где x^, z — «измерения» параллелепипеда. Ее область определения состоит из всевозможных упорядоченных троек положительных чисел, множество значений — из всевозможных положительных чисел.

Окончание русского прилагательного (точнее, полного прилагательного в положительной степени) зависит от его основы (например, основа прилагательного белый есть бел-, основа прилагательного настольный — настольн-) и четырех грамматических характеристик, по которым прилагательное согласуется с существительным: рода, одушевленности/неодушевленности, числа и падежа. Иначе говоря, окончание русского прилагательного есть функция пяти переменных x^, z,u,v,

прилагательных (довольно обширное, но конечное и вполне обозримое), переменная у пробегает множество , переменная z — множество , переменная u —множество и переменная u—множество . Смысл обозначений здесь ясен. Обозначив эту функцию Fl(x, у, z, u, v), мы будем иметь, например:

Fl(больш-, муж, одуш, ед, вин) = -ого;

Fl(больш-, жен, z, ед, вни) = -ую при любом значении z;

F\(MAAEHBК-, у, Z,MH, ТВ) = -ими при любых значениях у и z.

Задачи. (1) (а) Привести несколько примеров упорядоченных троек,

человека у на n лет».

(б) То же для отношения «Расстояние между железнодорожными

(в) То же для заданного на множестве действительных чисел отношения x + у + 1 = 2z.

Для каждого из отношений предыдущей задачи ответить на вопрос, является ли оно функциональным.

Пусть Fn(x1,x2. xn), где n —одао из чи сел 1, 2, 3. n, есть

Fn(x1,x2. xn) = а, если среди букв х1,х2, . xn нет двух одинаковых;

Fn(x1,x2. xn) = б, если среди букв х1, х2, . xn есть две одинаковые, но нет трех одинаковых;

Fn(x1,x2. xn) = в, если среди букв x1,x2. xn есть три или более одинаковых.