Решение задач. Прямоугольный параллелепипед. 11 класс

Задача 1. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3 и 4. Площадь поверхности этого параллелепипеда равна 94. Найдите третье ребро, выходящее из той же вершины.

Обозначим известные ребра за и , а неизвестное за . Площадь поверхности параллелепипеда выражается как . Выразим : , откуда неизвестное ребро

Задача 2. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2. Площадь поверхности параллелепипеда равна 16. Найдите его диагональ.

Пусть длина третьего ребра, исходящего из той же вершины, равна , тогда площадь поверхности параллелепипеда даётся формулой . По условию площадь поверхности равна 16, тогда откуда

Длина диагонали прямоугольного параллелепипеда равна квадратному корню из суммы квадратов его измерений, поэтому .

Примечание о том, как не надо решать эту задачу.

Обозначим известные ребра за и , а неизвестное за . Площадь поверхности параллелепипеда выражается как . Выразим :

откуда неизвестное ребро

Диагональ параллелепипеда находится как

Задача3. Прямоугольный параллелепипед описан около единичной сферы. Найдите его площадь поверхности.

Высота и сторона такого параллелепипеда равны диаметру сферы, то есть это куб со стороной 2. Площадь поверхности куба со стороной :

Ответ : 24.

Задача 4. Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 12. Ребро, перпендикулярное этой грани, равно 4. Найдите объем параллелепипеда.

Объем прямоугольного параллелепипеда равен , где – площадь грани, а — высота перпендикулярного к ней ребра. Имеем

Задача 5. Объем прямоугольного параллелепипеда равен 24. Одно из его ребер равно 3. Найдите площадь грани параллелепипеда, перпендикулярной этому ребру.

Объем прямоугольного параллелепипеда равен , где – площадь грани, а – высота перпендикулярного к ней ребра. Тогда площадь грани

Задача 6 .Объем прямоугольного параллелепипеда равен 60. Площадь одной его грани равна 12. Найдите ребро параллелепипеда, перпендикулярное этой грани.

Объем прямоугольного параллелепипеда равен , где — площадь грани, а — высота перпендикулярного к ней ребра. Тогда

Задача 7 . Три ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 4, 6, 9. Найдите ребро равновеликого ему куба.

Объем куба равен объему параллелепипеда

Значит, ребро куба

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 4. Диагональ параллелепипеда равна 6. Найдите объем параллелепипеда.

Длина диагонали параллелепипеда равна

Длина третьего ребра тогда . Получим, что объем параллелепипеда

Задача 9 . Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 3. Объем параллелепипеда равен 36. Найдите его диагональ.

Объем параллелепипеда равен

Отсюда найдем третье ребро:

Длина диагонали параллелепипеда равна

Задача 10. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна и образует углы 30 , 30 и 45 с плоскостями граней параллелепипеда. Найдите объем параллелепипеда.

Ребро параллелепипеда напротив угла в равно , поскольку образует с заданной диагональю и диагональю одной из граней равнобедренный треугольник. Два другие ребра по построению лежат в прямоугольных треугольниках напротив угла в и равны, поэтому половине диагонали. Тогда объем параллелепипеда:

Ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2, 3. Найдите его площадь поверхности.

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда равна удвоенной сумме попарных произведений его измерений

Задача 12. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 4. Диагональ параллелепипеда равна 6. Найдите площадь поверхности параллелепипеда.

Обозначим известные ребра за и , а неизвестное за . Площадь поверхности параллелепипеда выражается как

Диагональ параллелепипеда находится как

Тогда площадь поверхности

Задача 13. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2. Объем параллелепипеда равен 6. Найдите площадь его поверхности.

Найдем третье ребро из выражения для объема:

Площадь поверхности параллелепипеда

Задача 14. Найдите угол прямоугольного параллелепипеда, для которого , , . Дайте ответ в градусах.

В прямоугольнике отрезок является диагональю, По теореме Пифагора

Прямоугольный треугольник равнобедренный: , значит, его острые углы равны

Задача 15 . Найдите угол прямоугольного параллелепипеда, для которого =4, =3, =5. Дайте ответ в градусах.

Рассмотрим прямоугольный треугольник По теореме Пифагора

Рассмотрим прямоугольный треугольник Так как = = то треугольник является равнобедренным, значит, углы при его основании равны по .

Задача 15 . В прямоугольном параллелепипеде известно, что , , . Найдите длину ребра .

Найдем диагональ прямоугольника по теореме Пифагора:

Рассмотрим прямоугольный треугольник . По теореме Пифагора

Задача16 . В прямоугольном параллелепипеде ребро , ребро , ребро . Точка — середина ребра Найдите площадь сечения, проходящего через точки и .

Сечение пересекает параллельные грани по параллельным отрезкам. Поэтому четырехугольник — параллелограмм. Кроме того, ребро перпендикулярно граням и , поэтому углы и — прямые. Следовательно, сечение — прямоугольник.

Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора найдем

Тогда площадь прямоугольника равна:

Задача 17. В прямоугольном параллелепипеде известны длины рёбер: , , . Найдите площадь сечения, проходящего через вершины , и .

Сечение пересекает параллельные грани по параллельным отрезкам. Поэтому сечение − параллелограмм. Кроме того, ребро перпендикулярно граням и . Поэтому углы и − прямые.Поэтому сечение — прямоугольник.

Из прямоугольного треугольника найдем

Тогда площадь прямоугольника равна:

Задача 18. Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 8 и 2, а объём параллелепипеда равен 144. Найдите площадь поверхности этого параллелепипеда. Пояснение.

Найдем третье ребро прямоугольного параллелепипеда: . Найдем площадь поверхности параллелепипеда:

Задача 19. Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 6 и 4, а объём параллелепипеда равен 240. Найдите площадь поверхности этого параллелепипеда.

Найдем третье ребро прямоугольного параллелепипеда: . Найдем площадь поверхности параллелепипеда:

Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 8 и 5, а объём параллелепипеда равен 280. Найдите площадь поверхности этого параллелепипеда.

Найдем третье ребро прямоугольного параллелепипеда: . Найдем площадь поверхности параллелепипеда:

Задача 21. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 рёбра AB , BC и диагональ боковой стороны BC 1 равны соответственно 7, 3 и Найдите объём параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 .

C помощью теоремы Пифагора найдём CC 1 :

Найдём площадь основания прямоугольного параллелепипеда:

Найдём объём параллелепипеда:

Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 7 и 4, а объём параллелепипеда равен 140. Найдите площадь поверхности этого параллелепипеда.

Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению длин его рёбер: откуда третье ребро Площадь поверхности параллелепипеда — сумма площадей всех его граней:

• подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
• по всем предметам 1-11 классов

Курс повышения квалификации

• Сейчас обучается 927 человек из 80 регионов

Курс повышения квалификации

• Курс добавлен 31.01.2022
• Сейчас обучается 44 человека из 27 регионов

Курс профессиональной переподготовки

• Сейчас обучается 681 человек из 75 регионов

• Для учеников 1-11 классов и дошкольников
• Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Дистанционные курсы для педагогов

5 617 303 материала в базе

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

• ЗП до 91 000 руб.
• Гибкий график
• Удаленная работа

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

• Алгебра
• Геометрия
• 10 класс
• Рабочие программы

• 30.01.2016
• 599
• 4

• Алгебра
• 7 класс
• Конспекты

• 30.01.2016
• 406
• 0

• Геометрия
• 9 класс
• Презентации

• 30.01.2016
• 738
• 6

• Алгебра
• Геометрия
• 9 класс
• Рабочие программы

• 30.01.2016
• 1060
• 10

• Геометрия
• 9 класс
• Конспекты

• 30.01.2016
• 1039
• 1

• Другое
• 10 класс
• Презентации

• 30.01.2016
• 3733
• 17

• Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
• Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
• Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
• Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
• Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
• Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
• Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
• Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
• Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
• Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
• Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
• Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
• Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
• Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
• Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

• 30.01.2016 31840
• DOCX 590 кбайт
• 364 скачивания
• Рейтинг: 3 из 5
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Кушнарь Лариса Александровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

• На сайте: 6 лет и 4 месяца
• Подписчики: 2
• Всего просмотров: 72066
• Всего материалов: 30

40%

• Подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
• Для учеников 1-11 классов

Московский институт профессиональной переподготовки и повышения квалификации педагогов

Дистанционные курсы для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Новые курсы: преподавание блогинга и архитектуры, подготовка аспирантов и другие

Время чтения: 16 минут

Онлайн-конференция о психическом здоровье педагогов и детей

Время чтения: 2 минуты

ГИА для школьников, находящихся за рубежом, может стать дистанционным

Время чтения: 1 минута

Правительство запустило информационный портал для россиян «Объясняем.РФ»

Время чтения: 1 минута

Школьник из Забайкалья выиграл суд против оскорбившего его учителя

Время чтения: 1 минута

Россияне ценят в учителях образованность, любовь и доброжелательность к детям

Время чтения: 2 минуты

• Курсы «Инфоурок»
• Онлайн-занятия с репетиторами на IU.RU

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.