Механический импульс энергии материальной точки переменной массы Текст научной статьи по специальности «Физика»

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Чернявский Дмитрий Иванович, Чернявская Дарья Дмитриевна

В статье обосновывается актуальность применения величины, называемой « механический импульс энергии ». Физический смысл данной величины состоит в том, что она характеризует эффективность изменения энергетического состояния тела. Если физический объект является источником энергии , которая преобразуется в его механическое движение, величина импульса энергии должна стремиться к максимуму. И наоборот, если главной задачей является экономичное использование энергетических ресурсов, величина импульса энергии должна быть минимально возможной. В работе рассмотрены примеры использования импульса энергии для изучения движения тел переменной массы.

Похожие темы научных работ по физике , автор научной работы — Чернявский Дмитрий Иванович, Чернявская Дарья Дмитриевна

Mechanical impulse of energy of a material point of variable weight

In the article the urgency of application of the size named « a mechanical impulse of energy » is proved. The physical sense of the given size characterizes efficiency of change of power condition of a body. If the physical object is an energy source which will be transformed into its mechanical motion, the size of an impulse of energy should strive to a maximum. On the contrary, if the main task is economic use of power resources, the size of an impulse of energy should be as minimum as possible. In the work, examples of use of an impulse of energy for studying of movement of bodies of variable weight are considered.

Текст научной работы на тему «Механический импульс энергии материальной точки переменной массы»

МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 2 (120) 2013

УДК 622.233:622 Д. И. ЧЕРНЯВСКИЙ

Омский государственный технический университет

МЕХАНИЧЕСКИЙ ИМПУЛЬС ЭНЕРГИИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ______________________________________

В статье обосновывается актуальность применения величины, называемой «механический импульс энергии». Физический смысл данной величины состоит в том, что она характеризует эффективность изменения энергетического состояния тела. Если физический объект является источником энергии, которая преобразуется в его механическое движение, величина импульса энергии должна стремиться к максимуму. И наоборот, если главной задачей является экономичное использование энергетических ресурсов, величина импульса энергии должна быть минимально возможной. В работе рассмотрены примеры использования импульса энергии для изучения движения тел переменной массы.

Ключевые слова: энергия, механический импульс, ракетная техника, элементарная работа.

Как известно, в механике широко используется понятие «кинетическая энергия». Теорема об изменении кинетической энергии гласит: «Приращение кинетической энергии на данном пути равно работе действующей силы на данном пути» [1].

На основании второго закона Ньютона можно заключить, что изменение массы и скорости материальной точки и, соответственно, изменение ее кинетической энергии, происходит не мгновенно, а в течение конечных промежутков времени. Поэтому целесообразно рассмотреть некоторую интегральную функцию, которая является мерой изменения энергетического состояния движущегося тела или материальной точки во времени. Назовем такую характеристику — механическим импульсом энергии Р.

Физический смысл данной величины состоит в том, что она характеризует эффективность изменения энергетического состояния тела. Если физический объект является источником энергии, величина импульса энергии Р должна стремиться к максимуму. И наоборот, если главной задачей является экономичное использование энергетических ресурсов, величина Р должна быть минимально возможной.

В качестве примера рассмотрим криволинейное движение свободной материальной точки переменной массы.

В классической механике Ньютона масса движущегося тела рассматривается только как постоянная величина. Однако в природе и технике имеется немало примеров движения тел, масса которых изменяется с течением времени. Создателями основ механики тела переменной массы являются русские ученые И. В. Мещерский и К. Э. Циолковский.

Точка переменной массы определяется математически как точка с массой, являющейся функцией времени m(t) [1]. Если принять, что масса точки изменяется в результате непрерывного отбрасывания или присоединения материальных частиц, массы которых весьма малы, можно считать функцию m(t) непрерывной и дифференцируемой. При отбрасывании элементарной материальной частицы возникает элементарная реактивная сила, действующая как

на основную, так и на отделяемую точку. Эти две силы равны между собой по модулю и направлены в противоположные стороны.

Если основная и отделяемые точки рассматриваются как единая система, то силы взаимодействия между ними являются для этой системы внутренними силами и масса такой системы не изменяется, оставаясь при движении постоянной. Из этого следует, что к такой системе можно применять теоремы динамики системы постоянной массы [1]. На основании данных положений И. В. Мещерским определено основное уравнение динамики точки переменной массы:

где т — масса материальной точки, V — скорость материальной точки, Р — равнодействующая сил, приложенных к материальной точке, Я — реактивная сила, равная произведению относительной скорости иг на секундное приращение массы основной точки ё.т/М, где Я=ийт/М.

Запишем дифференциальные уравнения движения свободной материальной точки переменной массы:

Рх + Ях = т, Ру + Я = т^22-, х х М2 у у Л2

Помножим уравнения соответственно на йх, йу, dz, представляющие действительные перемещения материальной точки в промежуток времени М, и сложим [1]:

(Рх + Ях )йх + (Ру + Яу )йу + Р + Я2 й =

_ йхй2х + йуй2у + dzd2z (3)

Преобразуем левую часть выражения (3), считая, что — элемент пути, пройденный за время dt

и а — угол между направлением сил F+R и элементом пути ds.

где А — длина суммарного вектора F+R,

А = ■ Как известно,

правая часть выражения (4), расположенная в скобках, является суммой произведений косинусов углов, образуемых направлениями суммарной силы F+R и элементами ds с осями координат, т.е. равна косинусу угла между направлением силы F+R и направлением элемент пути ds — со8(а).

Преобразуем выражение (4):

Выражение (5) представляет элементарную работу, которая может быть положительной или отрицательной, в зависимости от величины ео8(а) и F+R. Из кинематики известно:

Направим ось X системы координат по оси двигателя космического корабля в сторону его движения и запишем уравнение Мещерского:

(тк + тд ^у / dt = -udmg / dt ■

Умножив выражение (10) на dt, проинтегрируем его, разделив переменные. В результате получим формулу Циолковского:

Запишем уравнение импульса энергии (9) для рассматриваемого случая:

тк + тд0 - к1:)(у0 + и 1п

-і1 = Г dt Г ик со8(а^ ■

Для упрощения интегрирования примем, что у0 = 0. Взяв интеграл от левой части выражения (12), получим следующее уравнение:

dz \2 d2 х + d2y + d2 z

Дифференцируя это равенство и умножая его на т/2, находим [2]:

d\ ту | = т dxd х + dyd у + dzd^

Сравнивая выражения (3), (5), (7) и интегрируя полученное выражение, определим:

Умножим правую и левую части уравнения (8) на dt и проинтегрируем его по времени. Уравнение импульса энергии Р примет вид:

t = Г dt Г А со8(а^ ■

Р = 2к[(1п(тк + тд0) + 0,5)[(1п(тк) - 0,5)тк

Рассмотрим простейший пример определения импульса энергии применительно к свободному движению ракеты без учета сил притяжения к Земле и сопротивления воздуха.

Космический корабль неизменной массой тк необходимо доставить в определенную точку космического пространства. Для выполнения этого требования двигатели космического корабля должны израсходовать топливо и окислитель и разогнать корабль до скорости уг, которая позволит осуществить инерционный полет. Секундный расход газов, проходящих через сопло ракетного двигателя, составит величину k=dmg/dt»mg0/t1, где тд0 — исходный запас горючего и окислителя в баках космического корабля и t1 — общее время работы ракетного двигателя. Текущий запас топлива и окислителя определяется, как тд=тд0 — Ы. Скорость движения космического корабля обозначим у, а относительную скорость выхлопа продуктов горения и.

- 0,5)тк - (1п(тк + тд 0) - 0,5)(тк + тд 0)2] +

Используя известные математические методы, определим экстремальные значения импульса энергии Р. Минимальные значения импульса энергии Р=0 определяются при относительной скорости горячих газов и=0 и запасе топлива и окислителя тд0 = 0 (тривиальное решение), а также при секундном расходе горячих газов к=¥. Таким образом, необходимо стремиться к возможно большему расходу горячих газов и, соответственно, к большей реактивной тяге ракетного двигателя при прочих равных условиях.

Определим импульс энергии при следующем соотношении массы топлива и окислителя к массе космического корабля — тд0>>тк, приблизительно

т /тк= 1/100. Используя выражение (13) и учитывая ^ 2 2 различный порядок величин т _ и тполучим:

2 2 2 и тд0 = и тд0

Таким образом, при малой массе космического корабля и значительных запасах топлива и окислителя полезно используется только четвертая часть энергии, заключенной в топливе^ Это объясняется тем, что приходится затрачивать энергию не только на разгон полезной массы космического корабля, но и на разгон топлива и окислителя, которые будут использоваться на последующих этапах активного участка полета^ Исходя из выражения (14), необходимо стремиться к увеличению скорости истечения горячих газов^ Однако выполнение данного условия зависит от решения многих проблем, связанных с использованием новых видов топлива и окислителя^ Одной из серьезных проблем, связанных с бытом космонавтов, является проблема невесомости в дли-