АКАДЕМИЯ МАРКЕТИНГА И СОЦИАЛЬНО-ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ ИМСИТ. г. Краснодар

1 АКАДЕМИЯ МАРКЕТИНГА И СОЦИАЛЬНО-ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ ИМСИТ г. Краснодар Факультет информатики и вычислительной техники Кафедра математики и вычислительной техники РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ Б1.Б.8 «Алгебра и геометрия» Рабочая программа по дисциплине для студентов Направление подготовки «Информационная безопасность» Направленность (профиль) программы Организация и технология защиты информации" (по отрасли или в сфере профессиональной деятельности) Квалификация выпускника Бакалавр Краснодар 2016

2 Рабочая программа «Алгебра и геометрия» /сост. Камалян Р.З. - Краснодар: ИМСИТ, 2016 г. Рабочая программа составлена с учетом Федерального государственного образовательного стандарта высшего образования по направлению подготовки «Информационная безопасность», утвержденного приказом Министерства образования и науки Российской Федерации от г Рабочая программа предназначена для преподавания дисциплины базовой части студентам направления подготовки «Информационная безопасность». Составитель Камалян Р.З. Рецензенты Зав. кафедрой естественно-научных дисциплин НЧОУ ВО Кубанский институт информзащиты, к.ф.-м.н., доцент А.М. Ляпишев Гл. инженер ООО «Кубань-Сервис» Д.В. Мельников Рабочая программа рассмотрена на заседании кафедры математики и вычислительной техники «28» декабря 2016 г., протокол 5 Зав. кафедрой математики и вычислительной техники, к.т.н., доцент Н.С.Нестерова Рабочая программа утверждена на заседании Научно-методического совета Академии «16» января 2017 г., протокол 6 2

3 1. Пояснительная записка 1.1. Цели и задачи дисциплины (модуля) Целями освоения дисциплины "Алгебра и геометрия" являются: формирование математической культуры студента, овладение классическим математическим аппаратом аналитической геометрии и линейной алгебры для дальнейшего использования при изучении физики, химии, математического анализа, теории вероятностей, информационных технологий. Задачи изучения дисциплины: 1. Формирование у студентов представлений о фундаментальных идеях и языке аналитической геометрии и линейной алгебры. 2. Формирование у студентов знаний и умений, необходимых для освоения и использования методов этих разделов высшей математики при решении теоретических и прикладных задач. 3. Формирование у студентов знаний и умений, необходимых для дальнейшего самообразования в области современной математики. 1.2.Место дисциплины в структуре образовательной программы Дисциплина «Алгебра и геометрия» входит в базовую часть цикла Б1. Для ее успешного изучения достаточно знаний и умений, приобретенных в средней школе. Освоение данной дисциплины является основанием для успешного освоения дальнейших базовых курсов физики, химии, математического анализа; теории вероятностей, теории информации, теории информационных процессов и систем; приобретенные знания также могут помочь в научно-исследовательской работе. Таблица 1. Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами Наименование Темыдисциплинынеобходимыедляизучения п/п обеспечиваемых обеспечиваемых (последующих) дисциплин (последующих) дисциплин 1. Физика Химия Математический анализ 4. Теория вероятностей Теория информации Теория информационных процессов и систем 1.3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения данной образовательной программы. 3

4 Выпускник, освоивший данную дисциплину ОП должен обладать следующими общепрофессиональными компетенциями (ОПК): ОПК-2 -способностью применять соответствующий математический аппарат для решения профессиональных задач 1.4. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине (модулю): Знать основные понятия и теоремы аналитической геометрии и линейной алгебры; определения и свойства математических объектов в этой области, формулировки утверждений, методы их доказательства, возможные сферы их приложений. Уметь решать задачи вычислительного и теоретического характера в области аналитической геометрии и линейной алгебры. Владеть математическим аппаратом аналитической геометрии и линейной алгебры, аналитическими методами исследования информационных технологий. 2. Структура и трудоемкость дисциплины. Семестр первый. Форма промежуточной аттестации экзамен. Общая трудоемкость дисциплины составляет 5 зачетных единиц, 180 академических часов, из них 76,65 часа, выделенных на контактную работу с преподавателем, 103,35 часа, выделенных на самостоятельную работу. Аудиторные занятия: 72 часа; из них лекции - 36, практические занятия 36: иные виды работ, входящих в контактную работу -4,65 часа. 3. Тематический план Вид учебной работы Всего Семестр Семестр часов 2 3 /зачетн. ед. Аудиторные занятия, всего 96/2,7 48/1,35 48/1,35 в том числе: лекции 32/0,9 16/0,45 16/0,45 практические занятия (ПЗ) 64/1,8 32/0,9 32/0,9 Самостоятельная работа, всего 156/4,3 78/2,15 78/2,15 в том числе: Расчетно-графические работы (индивидуальные задания) Изучение теоретического материала, 93/2,6 42/1,7 51/1,4 подготовка к аудиторным занятиям Самостоятельное решение задач. 63/1,6 36/1 27/0,7 Подготовка к контрольным работам Вид промежуточной аттестации зачет экзамен Общая трудоемкость по дисциплине часы зачетные единицы 7 3,5 3,5 4

5 4. Содержание дисциплины. Модуль Матрицы и действия над ними. Размеры матриц. Диагональные матрицы. Симметрические матрицы. Нулевая и единичная матрицы. Сложение матриц, умножение матрицы на число. Умножение матриц. Транспонирование матриц. Вычисление обратной матрицы. Ранг матрицы. 1.2 Определители и их свойства. Определители второго и третьего порядка. Миноры и алгебраические дополнения элементов. Свойства определителей. Разложение определителя по элементам строки или столбца. Определители n-ого порядка. 1.3 Исследование и решение систем уравнений. Системы m линейных уравнений с n неизвестными. Однородные системы. Решение систем линейных уравнений с помощью определителей. Формулы Крамера. Решение систем методом Гаусса. Решение систем с помощью обратной матрицы. Исследование системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Модуль Векторная алгебра. Векторные и скалярные величины. Линейные операции над векторами. Нулевой вектор. Проекции вектора на ось. Разложение вектора по базису. Координаты вектора. Модуль вектора. Скалярное, векторное, смешанное произведения векторов. Применение векторов для решения физических задач. 2.2 Уравнения прямой на плоскости и в пространстве; уравнение плоскости. Уравнение плоскости. Уравнение прямой на плоскости. Уравнения прямой в пространстве. Взаимное расположение прямых и плоскостей. Задачи на использование уравнений прямой и плоскости. 2.3 Кривые и поверхности второго порядка. Уравнение окружности. Каноническое уравнение эллипса. Каноническое уравнение гиперболы. Каноническое уравнение параболы. Эксцентриситет и директрисы кривых второго порядка. Уравнение сферы. Каноническое уравнение эллипсоида, однополостного гиперболоида, двуполостного гиперболоида, эллиптического параболоида, гиперболического параболоида. Модуль Группы, кольца, поля 5

6 Внутренний закон композиции. Определение группы. Коммутативные группы. Примеры групп. Группа подстановок. Подгруппы. Изоморфизм групп. Определение кольца и поля. Поле комплексных чисел. 3.2 Линейные пространства и линейные преобразования. Внешние законы композиции. Определение линейного пространства. Примеры линейных пространств. Базис линейного пространства. Линейное преобразование. Матрица линейного преобразования. Характеристическое уравнение. Собственные значения и собственные векторы. 3.3 Квадратичные формы Квадратичные и билинейные формы. Свойства квадратичных форм. Матрица квадратичной формы. Приведение к каноническому виду. 5. Планы семинарских занятий. Модуль 1. Тема 1.1. Матрицы и действия над ними. Сложение матриц. Умножение матрицы на число. Умножение матриц. Определитель матрицы. Вычисление обратной матрицы. Решение системы уравнений матричным методом. Контрольная работа по теме «Матрицы». Тема 1.2. Определители и их свойства. Определители второго и третьего порядка. Свойства определителей. Вычисление определителя по определению и с помощью разложения по элементам строки или столбца. Преобразование определителей по свойствам. Вычисление определителей четвертого порядка Контрольная работа по теме «Определители» Тема 1.3.Исследование и решение систем уравнений. Решение систем по формулам Крамера. Решение систем методом Гаусса. Решение систем с помощью обратной матрицы. Исследование систем на совместность. Контрольная работа по теме «Решение систем уравнений» Модуль 2. Тема 2.1. Векторная алгебра. Решение задач на построение суммы, разности, линейных комбинаций векторов. Вычисление модуля векторов, применение условия коллинеарности. Вычисление скалярного произведения. Вычисление проекций векторов, углов между векторами. Применение условия перпендикулярности векторов. Решение задач из курса физики, использующих скалярное произведение. Вычисление векторного произведения. Применение векторного произведения для вычисления площадей параллелограмма и треугольника; решение физических задач, использующих свойства векторного произведения. 6

7 Смешанное произведение и вычисление объемов. Решение задач на условие компланарности векторов. Контрольная работа по теме «Векторы». Тема 2.2. Уравнения прямой на плоскости и в пространстве. Уравнение плоскости. Решение задач на составление уравнений плоскостей, взаимное расположение плоскостей. Решение задач, использующих уравнения прямой в пространстве. Анализ уравнений прямой на плоскости. Применение уравнения прямой для решения физических задач. Контрольная работа по теме «Уравнения прямой» Тема 2.3. Кривые и поверхности второго порядка. Решение задач на составление и анализ уравнений окружности и эллипса. Вычисление эксцентриситета и фокусов эллипса. Составление и анализ уравнений гиперболы и параболы. Вычисление эксцентриситета и фокусов гиперболы и параболы. Уравнения директрис и асимптот. Анализ уравнений эллипсоида, гиперболоидов и параболоида. Прямолинейные образующие однополостного гиперболоида. Модуль 3 Тема 3.1 Группы, кольца, поля. Примеры групп. Группа подстановок. Кольцо многочленов. Поле действительных и поле комплексных чисел. Тема 3.2. Линейные пространства и линейные преобразования. Примеры линейных пространств. Базис линейного пространства. Матрица перехода от одного базиса к другому. Матрица линейного преобразования. Преобразование матрицы при переходе к другому базису. Вычисление собственных значений и собственных векторов линейного преобразования. Тема 3.3. Квадратичные формы. Примеры квадратичных форм. Матрица квадратичной формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. 6. Темы лабораторных работ (Лабораторный практикум). Не предусмотрены Не предусмотрены 7. Примерная тематика курсовых работ. 8 Типовые контрольные задания или иные материалы, необходимые для оценки знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности, характеризующей этапы формирования компетенций в процессе освоения образовательной программы. 7

8 Варианты контрольных работ: Контрольная работа Дана четырехугольная пирамида SABCD, в основании которой лежит параллелограмм. Найдите координаты вектора SD в базисе . 2. В треугольнике AB = c, AC = b, BC = a. Найдите длину медианы CM. 3. Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон. 4. Векторы a и b образуют угол a 3b 3a b Зная, что a 1и b2, вычислить 5. Доказать, чтоab c b(ac) a(bc). 6. Объем тетраэдра равен 5. Три его вершины находятся в точках А(2,1,- 1), В(3,0,1), С(2,-1,3). Найти координаты четвертой вершины D, если известно, что она лежит на оси ординат. Контрольная работа 4. Треугольник ABC задан координатами своих вершин в прямоугольной декартовой системе координат. Найти: 1. Уравнения сторон треугольника. 2. Систему неравенств, определяющую внутреннюю область треугольника ABC. 3. Углы треугольника ABC. 4. Длину высоты СН. 5. Уравнение медианы АМ. 6. Уравнение высоты СН. 7. Уравнение прямой ВК, где К точка пересечения медианы АМ и высоты СН; 8. Уравнение биссектрисы внутреннего угла С. 9Уравнение прямой А 1 В 1, симметричной прямой АВ 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки и перпендикулярно плоскости Вопросы к коллоквиуму: 1. Уравнение окружности на плоскости. 2. Уравнение эллипса. 8

9 3. Эксцентриситет и директрисы эллипса. 4. Уравнение гиперболы. 5. Оси, асимптоты и фокусы гиперболы. 6. Эксцентриситет и директрисы гиперболы. 7. Уравнение параболы. 8. Кривые второго порядка как конические сечения. Вопросы к экзамену: 1.Сложение матриц, умножение матрицы на число. 2.Произведение матриц. 3.Определители второго и третьего порядка. 4.Свойства определителей. 5.Разложение определителя по элементам строки или столбца. 6.Определители n-ого порядка. 7.Обратная матрица. 8.Решение систем линейных уравнений с помощью определителей. 9.Решение систем линейных уравнений матричным методом. 10.Ранг матрицы. 11.Элементарные преобразования матриц. 12.Системы m линейных уравнений с n неизвестными. 13.Решение систем линейных уравнений методом Гаусса. 14.Исследование систем линейных уравнений. 15.Метод координат на плоскости. Деление отрезка в данном отношении. 16.Полярные координаты. 17.Уравнение прямой на плоскости. 18.Общее уравнение окружности. 19.Эллипс. 20.Гипербола. 21.Парабола. 22.Векторы. Основные определения. 23.Линейные операции над векторами. 24.Линейные комбинации векторов. Линейная независимость. 25.Разложение вектора по базису. 26.Скалярное произведение. 27.Векторное произведение. 28.Смешанное произведение векторов. 29.Уравнение плоскости. 30.Уравнения прямой в пространстве. 31.Взаимное расположение прямой и плоскости. 32.Поверхности второго порядка. 33.Группы,кольца,поля. 34.Линейное пространство. 35.Размерность и базис линейного пространства. Изоморфизм линейных пространств. 9

10 36.Преобразование координат вектора при изменении базиса в линейном пространстве. 37.Линейное преобразование и его матрица. 38Характеристическое уравнение линейного преобразования. Собственные векторы и собственные значения. 39.Квадратичные формы. 40.Приведение квадратичной формы к каноническому виду. 9.4 Методические материалы, определяющие процедуры оценивания знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности характеризующих этапы формирования компетенций. Текущая аттестация: Контрольные работы. В течение семестра проводятся контрольные работы (на семинарах). Коллоквиумы. Тестирование (письменное или компьютерное) по разделам дисциплины. Промежуточная аттестация: Экзамен (письменно-устная форма). Экзамены оцениваются по 5- балльной системе. Текущий и промежуточный контроль освоения и усвоения материала дисциплины осуществляется в рамках рейтинговой (100-балльной) и традиционной (5- балльной) систем оценок. Зачетная оценка студента в рамках рейтинговой системы оценок является интегрированной оценкой выполнения студентом заданий во время практических занятий, индивидуальных домашних заданий, контрольной работы, сдачи коллоквиумов и результатов тестирования. Эта оценка характеризует уровень сформированности практических умений и навыков, приобретенных студентом в ходе изучения дисциплины. Соответствующие умения и навыки, а также критерии их оценивания приведены в таблице 5. Зачетная оценка студента в рамках традиционной системы оценок выставляется на основе решения задач, примерный уровень которых соответствует уровню задач, приведенных в п.10.3 (контрольные работы). Эта оценка характеризует уровень знаний, приобретенных студентом в ходе изучения дисциплины. Соответствующие знания и критерии их оценивания приведены в таблице Образовательные технологии. 10

11 При организации самостоятельной работы применяются технологии проблемного обучения, проблемно-исследовательского обучения (в частности, при самостоятельном изучении теоретического материала), дифференцированного обучения, репродуктивного обучения, а также современные информационные технологии обучения. В процессе проведения аудиторных занятий используются следующие активные и интерактивные методы и формы обучения: проблемное практическое занятие, работа в малых группах, дискуссия, самостоятельная работа с учебными материалами. 11.Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины (модуля) Основная литература: 1. Богомолов,Н.В. Математика: учебник для бакалавров.-м.: Юрайт, с. 2. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: учеб. пособие для бакалавров. -М.:Юрайт, с. 3. Математика: Учебное пособие / Данилов Ю. М., Никонова Н. В., Нуриева С. Н., Под ред. Журбенко Л. Н., Никоновой Г. А. - М.: НИЦ ИНФРА-М, с. 4. Шипачев В.С. Высшая математика: Учебник / В.С. Шипачев. - М.: НИЦ ИНФРА-М, с 5. Математика в примерах и задачах: Учебное пособие/журбенко Л. Н., Никонова Г. А., Никонова Н. В., Дегтярева О. М. - М.: НИЦ ИНФРА- М, с. 6. Курс высшей математики для экономистов: Учебник/Рудык Б.М., Бобрик Г.И., Гринцевичюс Р.К; под ред. Р.В.Сагитова - М.: НИЦ ИНФРА-М, с. Дополнительная литература: 1. Воеводин, В.В. Линейная алгебра: учебное пособие / В.В. Воеводин. 4-е изд., стер.- Санкт-Петербург: Лань с. 2. Ильин, В. А. Аналитическая геометрия: учеб. для студентов физ. спец. и спец. "Прикл. мат./ В. А.Ильин, Э. Г. Позняк. - 7-е изд., стер. - Москва: Физматлит, с. 3. Мальцев, А.И. Основы линейной алгебры. Учеб./А.И. Мальцев.-5-е изд., стер. - Санкт-Петербург: Лань, с. 4. Клетеник, Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии / Д. В. Клетеник е изд., стер. - Санкт-Петербург: Профессия, с. 11

12 5. Проскуряков, И.В. Сборник задач по линейной алгебре / И.В Проскуряков.- Санкт-Петербург: Лань, с. 6. Алгебра: Сборник индивидуальных контрольных заданий по алгебре для студентов института математики и компьютерных наук: учебнометодический комплекс / Горечин Е.Н. [и др.], отв.ред. В.Н. Кутрунов: Тюм. гос. ун-т, Ин-т математики и компьютерных наук, - Тюмень: Изд-во ТюмГУ, с. 7. Геометрия: сборник индивидуальных контрольных заданий по аналитической геометрии : дидактические материалы для самоконтроля, текущего контроля знаний и промежуточной аттестации : учебно-методический комплекс / Л. В. Абдубакова [и др.] ; отв. ред. В. Н. Кутрунов; Тюм. гос. ун-т, Ин-т математики и компьютерных наук. - Тюмень: Изд-во ТюмГУ, с Интернет-ресурсы: 1. Федеральный портал «Российское образование»: /. 2. Федеральное хранилище «Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов»: /. 3. Научная электронная библиотека elibrary.ru: /. 12. Перечень информационных технологий, используемых при осуществлении образовательного процесса по дисциплине (модулю), включая перечень программного обеспечения и информационных справочных систем (при необходимости). 1. Microsoft Word. 2. Microsoft Excel. 3. Microsoft PowerPoint. 13. Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины (модуля). Учебные аудитории для проведения лекционных и практических занятий, в частности, оснащенные интерактивной доской и/или проектором. 14. Методические указания для обучающегося по освоению дисциплины. Для более эффективного освоения и усвоения материала рекомендуется ознакомиться с теоретическим материалом по той или иной теме до проведения семинарского занятия. Работу с теоретическим 12

13 материалом по теме с использованием учебника или конспекта лекций можно проводить по следующей схеме: - название темы; - цели и задачи изучения темы; - основные вопросы темы; - характеристика основных понятий и определений, необходимых для усвоения данной темы; - список рекомендуемой литературы; - наиболее важные фрагменты текстов рекомендуемых источников, в том числе таблицы, рисунки, схемы и т.п.; - краткие выводы, ориентирующие на определенную совокупность сведений, основных идей, ключевых положений, систему доказательств, которые необходимо усвоить. В ходе работы над теоретическим материалом достигается - понимание понятийного аппарата рассматриваемой темы; - воспроизведение фактического материала; - раскрытие причинно-следственных, временных и других связей; - обобщение и систематизация знаний по теме. При подготовке к экзамену рекомендуется проработать вопросы, рассмотренные на лекционных и практических занятиях. и представленные в рабочей программе, используя основную литературу, дополнительную литературу и интернет-ресурсы. 13