Необходимые и достаточные условия существования экстремумов. Примеры.

Экстремумом функции называется максимальное (минимальное) значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум называется точкой экстремума. Точка $latex x_$ называется точкой локального максимума функции $latex f(x)$, если выполняется условие: [latex] \exists U_(x_) :[/latex][latex] \forall x\in U_(x_) f(x_)\geq[/latex][latex] f(x).[/latex] Аналогично точка $latex x_$ называется точкой локального минимума функции $latex f(x)$ , если выполняется условие: [latex] \exists U_(x_):[/latex][latex]\forall x\in U_(x_) f(x_)\leq [/latex][latex]f(x).[/latex]

Точки, в которых производная равна нулю, называются стационарными точками. Точки, в которых функция непрерывна, а её производная либо равна нулю, либо не существует, называются критическими точками.

Теорема (необходимое условие экстремума)

Если точка $latex x_$ — точка экстремума функции $latex f(x)$, то она критическая.

По условию точка $latex x_$ — точка экстремума функции $latex f(x)$ $latex \Rightarrow $ по теореме Ферма производная $latex '(x_)=0$ $latex \Rightarrow $ точка $latex x_$ является критической.

Найти экстремум функции $latex f(x)=x^-$ $latex 6x^+9x-4$. Найдем производную этой функции:$latex ’=3x^-12x+9$ $latex \Rightarrow $ критические точки задаются уравнением $latex 3x^-12x+9 =0$. Корни этого уравнения $latex x_=3$ и $latex x_=1$.

Как видно по рисунку функция имеет максимум в точке 1, а минимум в точке 3. Подставим эти значения чтобы убедиться в исходную функцию: $latex f(3)=27-$ $latex 54+27-4=-4$ и $latex f(1)=1-6+9-4=0$ $latex \Rightarrow $ в точке $latex x_=3$ функция имеет минимум, равный -4, а в точке $latex x_=1$ функция имеет максимум, равный 0.

Не всякая критическая точка является точкой экстремума.

Рассмотрим функцию $latex f(x)=x^$. Построим график этой функции:

Производная данной функции в точке $latex x_=0$ $latex '(0)=0$ $latex \Rightarrow$ $latex x_$ по определению является критической точкой, однако в этой точке функция не имеет экстремума.

Теорема (первое достаточное условие экстремума в терминах первой производной)

Пусть функция $latex f(x)$ определена и дифференцируема в некоторой окрестности точки $latex x_$, кроме, быть может, самой точки $latex x_$ и непрерывна в этой точке. Тогда:

1. Если производная $latex ’$ меняет знак с «-» на «+» при переходе через точку $latex x_$: $latex \forall x\in $ $latex (x_-\delta ;x_) '(x)<$ $latex 0$ и $latex \forall x\in $ $latex (x_; x_+\delta) '(x)> $ $latex 0$, то $latex x_$ — точка строго минимума функции $latex f(x).$
2. Если производная $latex ’$ меняет знак с «+» на «-» при переходе через точку $latex x_$: $latex \forall x\in $ $latex (x_-\delta;x_ )'(x)>$ $latex 0$ и $latex \forall x\in $ $latex (x_; x_+\delta) '(x)< $ $latex 0$, то $latex x_$ — точка строго максимума функции $latex f(x).$

Пусть, например, $latex ’$ меняет знак с «-» на «+». Рассмотрим точку $latex x_$ на сегменте $latex \left [ x;x_ \right ].$ Воспользуемся теоремой о конечных приращениях Лагранжа: $latex f(x)-f(x_)$ $latex ='(\xi)(x-x_)$, $latex \xi \in (x;x_)$. Поскольку при переходе через точку $latex x_$ функция меняет знак с «-» на «+», то $latex '(\xi)<0$ и $latex x< x_$, то $latex x- x_<0$ $latex f(x)-f(x_)>0.$ Аналогично рассмотрим сегмент $latex \left [ x_;x \right ]$, получим $latex f(x)-f(x_)>0$ $latex \Rightarrow$ $latex f(x_)< f(x)$ $latex \Rightarrow$ $latex x_$ — точка строгого минимума функции.

Если $latex x_$ — точка строго экстремума, то из этого не следует, что производная $latex ’ (x) $ меняет знак при переходе через точку $latex x_.$

Теорема (второе достаточное условие строгого экстремума в терминах второй производной)

Пусть дана функция $latex f(x)$, она определена в некоторой окрестности точки $latex x_ $, ее первая производная $latex '(x_)=0$ и пусть $latex \exists »(x_)$, тогда:

1. Если $latex »(x_)>0$, то точка $latex x_$ — точка строгого минимума;
2. Если $latex »(x_)<0$, то точка $latex x_$ — точка строгого максимума.

Докажем теорему для первого случая, когда $latex »(x_)>0$. По скольку $latex »(x_)$ непрерывна, то на достаточно малом интервале $latex (x_-\delta ;x_+\delta)$, т.к $latex »(x_)>0$, то $latex '(x_)$ возрастает в этом интервале. $latex '(x_)=0$, значит $latex '(x_)<0$ на интервале $latex (x_-\delta ;x_)$ и $latex '(x_)>0$ на интервале $latex (x_ ;x_+\delta)$. Таким образом функция $latex f(x)$ убывает на интервале $latex (x_-\delta ;x_)$ и возрастает на интервале $latex (x_ ;x_+\delta)$ $latex \Rightarrow$ по первому достаточному условию экстремума функция в точке $latex x_$ имеет минимум. Аналогично доказывается второй случай теоремы.

Если $latex '(x)=0$ и $latex »(x)=0$, то функция $latex f(x)$ может и не иметь экстремум в точке $latex x_.$

Теорема (третье достаточное условие строгого экстремума в терминах производных порядка больше двух)

Пусть функция $latex f(x) $ определена в некоторой окрестности точки $latex x_ $, и в этой точке существуют производные до n-го порядка пусть $latex \exists f^(x_)$, $latex n> 2$ и [latex] '(x_)=»(x_)=…[/latex][latex]=f^(x_)=0[/latex], [latex] f^(x_)\neq 0.[/latex] Тогда:

1. Если $latex n=2k$ (т.е $latex n$ — четное), то $latex x_$ — точка экстремума:
   • если $latex f^(x_)<0$, то $latex x_$ — точка локального максимума;
   • если $latex f^(x_)>0$, то $latex x_$ — точка локального минимума;
2. Если $latex n=2k+1$ (т.е $latex n$ — нечетное), то $latex x_$ — не является точкой экстремума.

Воспользуемся формулой Тейлора в окрестности точки $latex x_$ с остатком в форме Пеано: $latex f(x)=f(x_)+ $ $latex \frac